什么是量子计算---老齐

作者：Jonathan Hui

翻译：老齐

量子位是量子计算中的核心单位，借助于叠加态，我们可以将量子位编码成指数级的信息，这些信息可以比传统的计算机产生的信息多得多。在本文中，首先要介绍一下量子计算的基本原理，以及量子力学中的一些法则。

叠加态

叠加态是一个重要的概念，因为这要牵扯到量子位。还是从自旋的数学模型开始吧，别害怕！它很简单。在这里我们会放慢学习的节奏，从而你能够有时间熟悉量子力学中的一些符号，这些符号构成了量子力学中那些优美的函数。另外，我们这里用到的数学，远比你想象得简单。

当我们说一个叠加态中的粒子的自旋时，其含义非常简单，就是指自旋向上（up spin）和自旋向下（down spin）的线性组合，用狄拉克符号表示就是这样的：

前面的系数

alpha

叫做振幅（amplitude）

此处的自旋向上和自旋向下就相当于向量的基，类似于直角坐标系中x、y两个向量的基那样，其写法也类似。

用狄拉克符号表示，

|Psi rangle

表示量子态（quantum state），它其实是矩阵。上图中的 superposition 所标示的，就是自旋的线性组合，它就是一种叠加态，也就是一种量子态。

|0rangle

和

|1 rangle

是两个正交向量，可以写成：

或者是：

langle0| = begin{bmatrix}1\0end{bmatrix}，langle 1|=begin{bmatrix}0\1end{bmatrix}

线性代数，没那么复杂。在这里，我们只是用狄拉克符号将线性代数中的写法简化了。一旦你熟悉了，我们可以用很多简单的方式进行表示。例如，两个正交向量的内积，用

langle0|1rangle

表示，它们的结果总是

0

。而任何两个叠加态的内积则为

1

。

langle0|1rangle = 0，langle 1|1 rangle = langle Psi|Psi rangle=1

下面所示的是更复杂一些的叠加态以及对应的矩阵表示。

|+rangle=frac{|0rangle+|1rangle}{sqrt {2}}=frac{1}{sqrt{2}}begin{bmatrix}1\1end{bmatrix} |-rangle=frac{|0rangle-|1rangle}{sqrt {2}}=frac{1}{sqrt{2}}begin{bmatrix}1\-1end{bmatrix}

通过对自旋向上和自旋向下的测量，我们能够控制叠加态，但是，当我们测量了自旋向上，叠加态可能坍缩为某一种状态，

|0 rangle

或

|1 rangle

。这是量子力学的核心思想，也是自然的运作规律。

假设一个粒子状态表示为：

frac{1}{sqrt{2}}|0rangle + frac{1}{sqrt{2}}|1rangle

它坍缩为另外一种状态的概率是相应振幅的平方，事实表明，这个模型与实验结果相符的非常好，因此，测量粒子的自旋向上的概率是

frac{1}{2}

。

这是我们必须要掌握的基本原则，所有状态的测量概率之和是

1

（即

langle Psi | Psi rangle=1

），计算方式如下：

|alpha_0|^2+|alpha_1|^2

我们可以把叠加态想象成一个单位球体表面的一个点，自旋向上和自旋向下恰恰是这个球体的北极和南极，那么图中的红点就表示了另外一种叠加态，测量它的时候，自然迫使它选择一边，向上还是向下。

但是，上面图示也不是非常准确。为了更贴近真实的直观表示，像上图那样的球体称为布拉赫球，其中的振幅

alpha

也可以是复数，例如：

frac{1-i}{2sqrt{2}}|0rangle+frac{1+i}{2sqrt{2}}|1rangle

这样，叠加态的值有6种可能。

通过计算振幅的范数，就得到了概率，方法就是振幅与其共轭相乘，例如

3+4i

的共轭是

3-4i

，表示为：

alpha_i^* alpha_i

下面，我们简要比较一下比特（bit）和量子位。一个比特表示两个可能数值中的一个，不是

0

就是

1

。一个量子位表示单位球面上的点。在第一个回合中，量子位在表示的状态数量上更胜一筹。

另外，我们可以通过量子态的组合而成一个复杂系统，根据量子力学的原理，一个复杂系统可以用张量积表示：

|vrangle otimes|wrangle quad or quad |vwrangle

其中

|arangle|brangle=|arangle otimes |brangle = begin{bmatrix}xu\xv\vdots\yu\yv\vdotsend{bmatrix}

例如，这个复杂系统中包括2个自旋向下和1个自旋向上：

begin{equation}begin{split}|101rangle &=|1rangle otimes |0rangle otimes |1rangle \ &=begin{bmatrix}0\1end{bmatrix} otimes begin{bmatrix}1\0end{bmatrix} otimes begin{bmatrix}0\1end{bmatrix}\&= begin{bmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0end{bmatrix}^Tend{split}end{equation}

很快，我们就会看到，这是多么强大的系统，传统的计算是无法达到的，下面是一个3个量子位的示例：

begin{equation}begin{split}frac{1}{sqrt{2}}(|0rangle +|1rangle) otimes |1rangle otimes |1rangle &equiv frac{1}{sqrt{2}}(|011rangle+|111rangle) \ &equiv frac{1}{sqrt{2}}(|3rangle + |7rangle)end{split}end{equation}

下面的方程描述了2个量子位的系统，它由两个粒子的自旋组成。

因此，新的量子态有4个基向量，分别是

|00rangle、|01rangle、|10rangle、|11rangle

，相应的是4个复数的系数。

|mathbb alpharangle=alpha_{00}|00rangle+alpha_{01}|01rangle+alpha_{10}|10rangle+alpha_{11}|11rangle

如果是3量子位，就是8个基向量了：

|psi_2rangle=alpha_{0}|000rangle+alpha_{1}|001rangle+alpha_{2}|010rangle+alpha_{3}|011rangle+alpha_{4}|100ranglealpha_{5}|101ranglealpha_{6}|110rangle+alpha_{7}|111rangle

按照这样的组合，64量子位，则有：

基向量。美国最大的彩票头奖为16亿美元，以2的64次幂表示数大约能赢得300亿次最大的彩票。凭借64量子位，我们可以使用这些十亿亿系数（维度）来编码和处理大量数据。量子位赢得第二回合。

线性地增加量子位，就能指数级扩展信息容量。

收获不小！这样 我们就可以在高维度空间处理信息了。但是无法直接读取系数，所有的计算中，读取量子位的唯一方法是对其进行测量，从而仅返回状态之一（而不返回系数）。

测量量子位时，容量与位无异，在这种约束下设计算法非常棘手。我们有一个涡轮增压的概念，但是做事的方式很尴尬，稍后会再谈。

预告

至此，已经理解了量子位，可以类比于传统计算机中的比特，但比它更强大。在传统计算机中，我们通过

+, -, ×, ÷

这些运算符操作比特，在量子计算机中，就不能这么做了。那么，如何操作量子位？请看下篇。

原文链接：https://medium.com/@jonathan_hui/qc-what-are-qubits-in-quantum-computing-cdb3cb566595

---来自腾讯云社区的---老齐