【 Gym - 101138J 】Valentina and the Gift Tree(树链剖分)---饶文津

题意

n个节点的一棵树，每个节点的权值为g，q个询问，树上的节点U-V，求U到V的路径的最大子段和。

题解

先考虑这么一个问题：求区间[L,R]的最大子段和。 q个询问，用线段树可以做到每个询问的时间是O(log n)。 线段树的节点x代表区间[L,R]，我们要存这些值：

sum: 区间[L,R]的总和s: 区间[L,R]的最大子段和suml: 最大前缀和sumr: 最大后缀和

叶子节点这些值都是g[L]，否则先求出左右孩子的值，然后可以计算出当前节点的值。 再考虑原问题，因为是在树上，我们可以用两次dfs把每个节点放到线段树的区间上，使得每个节点和它最长的儿子在区间上是相邻的，其实就是树链剖分一下。 具体地说（后面的内容最好对着代码看），就是第一次dfs求得每个节点的父亲fa，重儿子son，子树节点总数siz，深度dep。第二次dfs，标记u所在的链的顶标top，在区间的下标rk=++w，以及该下标对应的节点id[w]=u，然后如果有son，则dfs2(son,f)，f是当前的链的顶标，接着对于非重儿子v，dfs2(v,v)，因为非重儿子重新起一条链，顶标是本身。 对于查询u和v，将顶标深度大的点往上翻，直到他们的顶标相同。翻的过程求出这一段路径 和 之前翻的路径 合并成的路径的sum等值，也就是用线段树节点来保存。过程和求线段树的差不多。然后顶标相同后，再将深度大的节点和之前的路径合并一下，最后我们有两个点la，ra代表(u,x)和(x,v)，x是最近公共祖先，注意他们的合并是suml+suml，不明白可以画一下，答案就是max(la.s,ra.s,la.suml+ra.suml)。

代码#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 100005 #define inf (1LL<<60) #define ll long long using namespace std; struct edge{ int to,next; }e[N<<1]; int head[N],cnt; int n,q,g[N]; int dep[N],fa[N],siz[N],son[N]; int top[N],rk[N],w,id[N]; void add(int u,int v){ e[++cnt]=(edge){v,head[u]};head[u]=cnt; } void dfs1(int u){ siz[u]=1; for(int i=head[u],v;i;i=e[i].next)if(!dep[v=e[i].to]){ fa[v]=u; dep[v]=dep[u]+1; dfs1(v); siz[u]+=siz[v]; if(siz[son[u]]<siz[v])son[u]=v; } } void dfs2(int u,int f){ top[u]=f; rk[u]=++w; id[w]=u; if(!son[u])return; dfs2(son[u],f); for(int i=head[u],v;i;i=e[i].next){ v=e[i].to; if(v==son[u]||v==fa[u])continue; dfs2(v,v); } } #define lson l,m,x<<1 #define rson m+1,r,x<<1|1 struct node{ ll s,sum,suml,sumr; node(){ sum=0,s=suml=sumr=-inf; } }tr[N<<2]; void pushUp(node& x,node ls,node rs){ x.s=max(max(ls.s,rs.s),ls.sumr+rs.suml); x.sum=ls.sum+rs.sum; x.suml=max(ls.suml,ls.sum+rs.suml); x.sumr=max(rs.sumr,rs.sum+ls.sumr); } void build(int l,int r,int x){ if(l==r){ tr[x].s=tr[x].suml=tr[x].sumr=tr[x].sum=g[id[l]]; return; } int m=l+r>>1; build(lson);build(rson); pushUp(tr[x], tr[x<<1], tr[x<<1|1]); } node query(int L,int R,int l,int r,int x){ if(L<=l&&r<=R)return tr[x]; int m=l+r>>1; if(R<=m)return query(L,R,lson); if(L>m) return query(L,R,rson); node now; pushUp(now, query(L,R,lson), query(L,R,rson)); return now; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v), add(u,v), add(v,u); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&g[i]); dep[1]=1, dfs1(1), dfs2(1,1), build(1,n,1); scanf("%d",&q); while(q--){ int a,b;node la,ra; scanf("%d%d",&a,&b); int ta=top[a],tb=top[b]; while(ta!=tb){ if(dep[ta]<dep[tb]) pushUp(ra, query(rk[tb],rk[b],1,n,1), ra), b=fa[tb], tb=top[b]; else pushUp(la, query(rk[ta],rk[a],1,n,1), la), a=fa[ta], ta=top[a]; } if(dep[a]<dep[b]) pushUp(ra, query(rk[a],rk[b],1,n,1), ra); else pushUp(la, query(rk[b],rk[a],1,n,1), la); printf("%lldn",max(max(la.s,ra.s),la.suml+ra.suml)); } return 0; } ---来自腾讯云社区的---饶文津